PGCD ET PPCM I. Plus grand commun diviseur Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours des diviseurs positifs. 1. Diviseurs communs à deux entiers positifs Notation : pour tout entier naturel a, on note d(a) l’ensemble des diviseurs de a. Exemple : d(14) = ……………………… d(5) = ………………………. Remarques : • Si a 0 alors d(a) ne contient que des entiers naturels inférieurs ou égaux à a • Si a > 1, alors d(a) contient 1 et a • Le plus grand élément de d(a) est a et le plus petit est 1 • d(1) ne contient que l’élément 1. Notation : d(a ; b) est l’ensemble des diviseurs communs à a et b. Ainsi d(a ; b) = d(a) d(b) Exemple : d(7 ; 14) = ………………….. et d(3 ; 5) = ……………………………… Remarques : • d(a ; b) est un ensemble non vide, il contient toujours 1 • d(a ; b) contient un plus grand élément car il contient tous les nombres inférieurs ou égaux à a et à b si a 0 et si b 0 et inférieur à a si b = 0. Notation : Le plus grand diviseur commun à a et b est noté PGCD Exemple : a = 24 et b = 18. Trouvez les diviseurs communs de a et b et déduisez en leur PGCD 2. Conséquences immédiates Prop : • d(a ; 0) = d(a) pour tout a entier naturel • Si b / a alors PGCD(a ; b) = b Démonstration : Page 1 sur 5 „„„˙ Exemple : PGCD(3 ; 12) = 3.