" ‡ ‡ · ‡ ‡ ‡ ‡ GENERALITES SUR LES SUITES I. Le raisonnement par récurrence. On veut démontrer qu’une propriété dépendant d’un entier naturel est vraie quel que soit cet entier. n n(n +1)* Exemple : Montrer que quel que soit n , k =1+ 2 + ... + n = . ∑ 2k=1 Soit on démontre le résultat directement pour n quelconque : n n(n +1)* Retour à l’exemple : Montrons que quel que soit n , k = . ∑ 2k=1 Considérons la somme écrite une fois avec les termes croissants : 1 + 2 + … + (n – 1) + n une fois avec les termes décroissants : n + (n – 1) + … + 2 + 1 puis sommons termes à termes : (n + 1) + (n + 1)+ … + (n + 1) + (n + 1) ème Pour les k termes on a : k + ((n + 1) – k) = n + 1, et il y a n termes dans chaque somme. n On a donc : 2 k = n(n +1) . ∑ k=1 Soit on utilise un type de raisonnement itératif, appelé raisonnement par récurrence, intuitivement appréhendé jusqu’alors à l’aide de « points de suspension ». Pour démontrer par récurrence qu’une proposition P(n) dépendant d’un entier naturel n est vraie quel que soit n n avec n entier, on procède en deux étapes: 0 0 Première étape: « initialisation ». On vérifie que P(n ) est vraie. 0 Deuxième étape: « hérédité ».