6 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 2011 Fonctions homographiques 1 Introduction Voir le TP G´eog´ebra. 2 La fonction inverse 2.1 D´efinition 1 Consid´erons la fonction f d´efinie par f(x) = . Alors : x ∗1. f est d´efinie sur ]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[=R ; 1 2. L’´equation f(x) = 0, c’est-`a-dire = 0 n’admet pas de solution, donc la courbe repr´esentativeH de f ne coupe pas x l’axe des abscisses. 1 3. Pour tout r´eel x 0, > 0. Donc sur 0 ; +∞[, f(x) > 0 etH est au-dessus de l’axe des abscisses. x 1 1 5. Pour tout r´eel x = 0, f(−x) = =− =−f(x). On dit que la fonction f est impaire. Sa courbe repr´esentative −x x admet l’origine O du rep`ere comme centre de sym´etrie. La fonction f est appel´ee fonction inverse. 2.2 Sens de variation Th´eor`eme : La fonction inverse est strictement d´ecroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (mais elle n’est pas d´ecroissante ∗surR ). D´emonstration : ´1. Etude des variations de f sur ]−∞ ; 0[ Soient x et x deux r´eels de l’intervalle ]−∞ ; 0[, tels que x 0 (le produit de1 1 2 2 1 2 deux nombres n´egatifs est un nombre positif). Le d´enominateur de la fraction est donc positif. Le num´erateur et le d´enominateur de f(x )− f(x ) sont positifs. Par cons´equent, f(x )− f(x ) > 0 et donc1 2 1 2 f(x ) >f(x ).1 2 Nousavonsdonc montr´eque six etx sontdeux r´eelsdel’intervalle ]−∞ ; 0[,tels quex f(x ).1 2 1 2 1 2 L’ordre ´etant chang´e, la fonction inverse est strictement d´ecroissante sur ]−∞ ; 0[. ´2.