COURS TERMINALE S LA FONCTION EXPONENTIELLE A. Approximation d'une courbe par la méthode d'Euler On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I, et C sa courbe représentative dans un repère du plan. On suppose connu un point M(x ; y ) de la courbe C. On sait que pour h non nul proche de0 0 0, l'approximation affine de la fonction f donne : f(x + h) = f(x ) + hf '(x ). Soit x = x + h0 0 0 1 0 et y = f(x ) + hf '(x ) = y + hf '(x ). On obtient un point M (x ; y ) . 1 0 0 0 0 1 1 1 Soit x = x + h et y = f(x ) + hf '(x ) = y + hf '(x ). On obtient un point M (x ; y ), et ainsi2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 de suite. On trace alors les segments [MM ], [M M ], [M M ], etc... qui donne une1 1 2 2 3 approximation de la courbe C représentative de f. Plus h est proche de 0 et plus l'approximation est bonne. B. L'équation différentielle f ' = kf 1. Résultat préliminaire : On considère une fonction f dérivable sur et un nombre réel k tels que, pour tout réel x , f ' (x) = kf(x) et f(0) = 1. Alors la fonction f ne s'annule pas sur . Démonstration : On considère la fonction g définie par g(x) = f(x)× f(– x). Cette fonction g est dérivable sur comme produit et composée de fonctions dérivables sur . On a g'(x) = f '(x)× f(– x) + f(x)× (– f '(– x)) = kf(x)× f(– x) + f(x)× (– kf(– x)) = 0. Donc la fonction g est constante sur égale à g(0) = f(0) × f(0) = 1² = 1.